\magnification = \magstep 1		    \pageno = 1
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\headline = {\hfill---Kapitel BE---\hfill}
\def\re{I\!\!R}  \def\na{I\!\!N}  \def\3{\ss}	\def\PB#1{{\bf P}(B\vert #1)}
\def\WR{({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P})} 	\def\QPB#1{{\bf P}({#1} \cap B) \over {\bf P}(#1) }
\def\IND#1{{1\> \! \! \!{\rm I}}_{#1}(\omega)}	\def\BPF{{\bf P}(B \vert {\cal F}_0)}
\centerline{\gross Bedingte Erwartungen}
\smallskip \hrule height 2pt \smallskip \hrule \vskip 1 true cm
\leftline{\mittel  \S 1  Motivation,Definitionen und einfache Beispiele} \hrule width 12,6 true cm height 2 pt
\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;1\;Motivation}$} \smallskip \noindent
Es seien $ \WR $ ein beliebiger W-raum	und $ A \in {\cal F} $ ein Ereignis mit $ 0 < {\bf P}(A) < 1.$ \smallskip \noindent
Will man f\"ur ein weiteres beliebiges Ereignis $ B \in {\cal F} $ die Wahrscheinlichkeit von $ B $ in Abh\"angigkeit von
der Realisierung von $ A $ beschreiben, so hat man die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten
$$ {\PB A} = {\QPB A} \quad {\rm und} \quad {\PB {A^C}} = {\QPB {A^C}}	$$
anzugeben. Man kann beide Ausdr\"ucke zusammenfassen,
$$ {\PB A} {\IND A} + {\PB {A^C}} {\IND {A^C}} $$
schreiben und wie folgt interpretieren: \smallskip \noindent
Realisiert ein Elementarereignis $\omega \in {\bf \Omega}$ das Ereignis $ A $,so ist nur der erste Summand von Null verschieden
und man erh\"alt $\PB A$,  realisiert $\omega \in {\bf \Omega}$ jedoch $A^C$, so ist nur der zweite Summand von Null verschieden und man erh\"alt  $\PB {A^C}$.
\smallskip \noindent Da man h\"aufig $\sigma$-Algebren als Ereignissysteme zugrunde legt,
betrachtet man die kleinste $\sigma$-Algebra, die $A $ und $A^C$ enth\"alt,d.h
${\cal F}_0 := \{ {\bf\Omega},\emptyset, A, A^C \} $ und w\"ahlt die Schreibweise
$$ {\BPF}(\omega):= {\PB A} {\IND A} + {\PB {A^C}} {\IND {A^C}} \eqno (*) $$
\item{\underbar{Beh.:}} Der Ausdruck $\BPF$ ist durch die beiden Eigenschaften
\bigskip
\itemitem{$\imath)$} $\qquad \BPF$ ist	$  {\cal F}_0 -$me\ss bar und \smallskip
\bigskip
\itemitem{$\imath\imath\prime)$} $\qquad \int_F {\BPF} \; d{\bf P} = {\bf P}(B \cap F) \quad \forall F \in {\cal F}_0 $
\bigskip \item{} charakterisiert.
\item{\underbar{Bew.:}}
\itemitem{a)}Man sieht leicht ein, da\3 f\"ur das durch $ (*) $ erkl\"arte $\BPF$ die Eigenschaften $\imath)$ und $\imath\imath\prime)$
erf\"ullt sind. $\imath)$ ist offensichtlich und f\"ur $\imath\imath\prime)$ verifiziert man die vier F\"alle
$ F = {\bf \Omega}, \emptyset, A \;{\rm oder} \; A^C.$
\itemitem{b)} Es gelte f\"ur eine Funktion $\phi: {\bf \Omega} \mapsto \re $
\bigskip
\itemitem{}{$\imath)$} $\qquad \phi$ ist  $  {\cal F}_0 -$me\ss bar und \smallskip
\bigskip
\itemitem{}{$\imath\imath\prime)$} $ \qquad \int_F {\phi} \; d{\bf P} = {\bf P}(B \cap F) \quad \forall \; F \in {\cal F}_0 $
\eject

\itemitem{} Wegen $\imath)$ mu\3 $\phi$ auf $A$ und $A^C$ konstant sein.Deshalb folgt aus $\imath\imath\prime)$ mit $F = A$ bzw. $F= A^C : $
$${\phi(\omega)\vert}_A {\bf P}(A) = {\bf P}(B \cap A) \quad {\rm und} \quad {\phi(\omega)\vert}_{A^C} {\bf P}(A^C) = {\bf P}(B \cap {A^C}) $$
und somit $ \phi(\omega) = {\PB A} {\IND A} + {\PB {A^C}} {\IND {A^C}}. $
\bigskip
\def\el{{\cal L}_1({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P})}    \def\XEF{{\bf E}(X \vert {\cal F}_0)}
\noindent Erkl\"art man unter Verwendung der obigen Bezeichnungen f\"ur ein
$ X \in \el $ (= integrierbaren Zufallsgr\"o\3en auf $({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P}) $ ) mit dem von $\omega$ abh\"angigen
W-Ma\3 $ {\bf P}(\; . \; \vert {\cal F}_0 )(\omega) $
$$ \eqalign{{\XEF}(\omega) : &= \int_{\Omega} X(\theta) \; {\bf P}(d\theta \vert {\cal F}_0)(\omega) \cr
	  & = {\IND A} {\int_{\Omega} X(\theta) \; {\bf P}(d\theta \vert A) } + {\IND {A^C}} {\int_{\Omega} X(\theta) \; {\bf P}(d\theta \vert {A^C}) } \cr
	  & = {{\IND A} \over {\bf P}(A)} {\int_A X \; d{\bf P}} + {{\IND {A^C}} \over {\bf P}(A^C)} {\int_{A^C} X \; d{\bf P}}  \cr } $$
so ist $ \XEF $ durch die beiden Eigenschaften
\bigskip
\itemitem{$\imath)$} $\qquad \XEF $ ist  $  {\cal F}_0 -$me\ss bar und \smallskip
\bigskip
\itemitem{$\imath\imath)$} $\qquad \int_F {\XEF} \; d{\bf P} = {\int_F X \; d{\bf P}} \quad \forall \; F \in {\cal F}_0 $
\bigskip \noindent  charakterisiert.   \bigskip
Wie oben pr\"uft man zun\"achst nach, da\3 die zuvor erkl\"arte Gr\"o\3e $ \XEF $ sowohl $\imath)$ als auch $\imath\imath)$ gen\"ugt.
\smallskip
Sofern ein $\phi: {\bf \Omega} \mapsto \re $  die Beziehungen $\imath)$ und $\imath\imath)$ erf\"ullt, folgt aus $\imath)$, da\3
$\phi$ auf $A$ und $A^C$ konstant ist und $\imath\imath)$ ergibt mit $F = A$ bzw. $F= A^C : $
$$ {{\phi(\omega)\vert}_ A} {\bf P}(A)	= {\int_A X \; d{\bf P}} \qquad {\rm bzw.} \qquad {{\phi(\omega)\vert}_{A^C}} {\bf P}(A^C) = {\int_{A^C} X \; d{\bf P}}  $$
d.h.
$$ \phi(\omega) = {{\IND A} \over {\bf P}(A)} {\int_A X \; d{\bf P}} + {{\IND {A^C}} \over {\bf P}(A^C)} {\int_{A^C} X \; d{\bf P}} = {\XEF}(\omega).$$
\bigskip
Durch die beiden Eigenschaften $\imath)$ und $\imath\imath\prime)$ kan man f\"ur eine beliebige $\sigma$-Algebra $ \cal D \subseteq \ F $ den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit
erkl\"aren, die dann allerdings nur $ \bf P - f.s.$ festgelegt ist. Statt der  bedingten Wahrscheinlichkeit erkl\"art man jedoch im allgemeinen f\"ur ein
$ X \in \el $  durch $\imath)$ und $\imath\imath)$ den Begriff bedingte Erwartung ${\bf E}(X \vert {\cal D}) $, die wiederum nur $ \bf P - f.s.$ festgelegt ist,
und erh\"alt die bedingte Wahrscheinlichkeit als Spezialfall f\"ur $ X = {1 \> \! \! \! {\rm I}}_B $ mit $ B \in \cal F.$
\eject

\noindent {$\bf \underline {BE\;2\;Satz:}$} \smallskip \noindent
Es sei ${\WR}$ ein W-Raum, $ X \in \el $ und $ \cal D \subseteq F $ eine Teil-$\sigma$-Algebra von $\cal F.$ Dann gibt es eine
$ \bf P - f.s.$ eindeutig bestimmte Abbildung $ \phi : {\bf \Omega} \mapsto \re $ die die beiden Bedingungen
\bigskip
\itemitem{$\imath)$} $\qquad \phi $ ist  $  {\cal D}-$me\ss bar und \smallskip
\bigskip
\itemitem{$\imath\imath)$} $\qquad \int_D {\phi} \; d{\bf P} = {\int_D X \; d{\bf P}} \quad \forall D \in {\cal D} $
\bigskip \noindent  erf\"ullt. $ \phi $ ist genau dann f\"ur alle $\omega \in {\bf \Omega} $ eindeutig bestimmt, wenn $ \cal D $ neben $ \emptyset $ keine
weiteren Nullmengen enth\"alt.
\smallskip
\leftline { $ \bf \underline {Beweis :} $ }
\item{a)} Existenz: \smallskip \item{}
Wird $ X $ wie \"ublich in $ X = {X^+} - {X^-} $ zerlegt, so gilt wegen $ X \in \el : \quad {\bf E}({X^+}) < \infty $ und $ {\bf E}({X^-}) < \infty . $

\item{} Erkl\"art man f\"ur $ D \in {\cal D}:$
$$ {Q^+}(D):= \int_D {X^+} \;d{\bf P} \qquad {\rm und } \qquad {Q^-}(D):= \int_D {X^-} \;d{\bf P}, $$
so sind $ {Q^+} $ und $ {Q^-} $ endliche Ma\3e auf $ ({\bf \Omega}, {\cal D}),$ die bez\"uglich $ \bf P $ absolut stetig sind, d.h. aus
$ {D_0} \in {\cal D} $ und $ {\bf P}({D_0}) = 0 $ folgt $ {Q^+}({D_0}) = {Q^-}({D_0}) = 0. $

\item{} Nach dem Satz von {\it Radon-Nikodym} (s.z.B. {\it Bauer}  Satz 17.8) besitzen diese Ma\3e daher $ {\cal D}-$me\3bare nicht negative Dichten $ {\varphi}^+ $ und $ {\varphi}^- $, d.h.
$$ {Q^+}(D):= \int_D {\varphi^+} \;d{\bf P} \qquad {\rm und } \qquad {Q^-}(D):= \int_D {\varphi^-} \;d{\bf P} \qquad \forall \; D \in {\cal D}. $$
Wegen $ \int_{\bf \Omega} {\varphi^+} \;d{\bf P} = {\bf E}({X^+}) $ und $ \int_{\bf \Omega} {\varphi^-} \;d{\bf P} = {\bf E}({X^-}) $ sind
$ {\varphi^+} $ und $ {\varphi^-} \quad {\bf P - f.s} $ endlich, mithin ist
$$ \phi(\omega) := \cases{ {{\varphi^+}(\omega) - {\varphi^-}(\omega)} & falls $ {\varphi^+}(\omega) < \infty $ und $ {\varphi^-}(\omega) < \infty $  \cr
			   0 & sonst \cr }$$
als $ \phi: {\bf \Omega} \mapsto \re $ erkl\"art und erf\"ullt $\imath)$ und $\imath\imath). $

\item{b)} Eindeutigkeit: \smallskip \item{}
Sind ${\phi}_1$ und ${\phi}_2$ zwei Funktionen, die beide $\imath)$ und $\imath\imath) $  erf\"ullen, so folgt aus $\imath):$
$$ {A^+} := \{\omega \in {\bf \Omega} \vert {\phi}_1(\omega) > {\phi_2}(\omega) \} \in {\cal D} \quad {\rm sowie} \quad {A^-} := \{\omega \in {\bf \Omega} \vert {\phi}_1(\omega) < {\phi_2}(\omega) \} \in {\cal D} $$
und aus $\imath\imath):$
$$ \int_D \phi_1 \; d{\bf P} = \int_D \phi_2 \; d{\bf P} \qquad \forall \; D \in {\cal D} $$
\eject

\item{} Mithin gilt insbesondere
$$ \int_{A^+} {\underbrace{(\phi_1 - \phi_2)}_{ > 0 }} \; d{\bf P} = 0 \qquad {\rm und} \qquad \int_{A^-} {\underbrace{(\phi_2 - \phi_1)}_{ > 0 }} \; d{\bf P} = 0, $$
also $ {\bf P}({A^+}) = {\bf P}({A^-}) = 0 $ und somit $ \phi_1 = \phi_2 \quad {\bf P - f.s.}.$

\item{} Sofern $ {\cal D} $ nur $ \emptyset $ als Nullmenge enth\"alt, folgt
$ {A^+} = {A^-} = \emptyset,$ d.h. ${\phi_1}(\omega) = {\phi_1}(\omega) $ f\"ur alle $\omega \in {\bf \Omega}.$
Enth\"alt hingegen $ {\cal D} $ au\3er $ \emptyset $ weitere Nullmengen, so kann man jede L\"osung von $\imath)$ und $\imath\imath)$ auf diesen Nullmengen
modifizieren ohne $\imath)$ und $\imath\imath)$ zu verletzen. \bigskip

\smallskip \noindent {$\bf \underline {BE\;3\;Sprechweisen \; und \; Bezeichnungen:}$} \smallskip \noindent
\item{a)} Durch den Satz BE 2 wird eine Menge $ {\bf I \! E}(X \vert {\cal D}) $ von $ {\cal D}-$me\3baren Zufallsgr\"o\3en erkl\"art,
in der jeweils zwei Elemente $ \bf P - f.s.$ \"ubereinstimmen.
Man w\"ahlt ein beliebiges Element aus  $ {\bf I \! E}(X \vert {\cal D}),$ bezeichnet dies als
\underbar {Version der bedingten Erwartung} und schreibt kurz $ {\bf E}(X \vert {\cal D}).$
Nat\"urlich hat man dabei stets zu beachten, da\3 zwei beliebige Versionen im allgemeinen nur $ \bf P - f.s.$ \"ubereinstimmen.
\smallskip
\item{b)} Ist $ X =  {1 \> \! \! \! {\rm I}}_B $ mit $ B \in \cal F , $ so wird $ {\bf E}({1 \> \! \! \! {\rm I}}_B \vert {\cal D}) $
als \underbar{bedingte Wahrscheinlichkeit} bezeichnet und in der Form  $ {\bf P}(B \vert {\cal D}) $ geschrieben. Wie unter a) ist $ {\bf P}(B \vert {\cal D}) $
wieder ein Element der Menge $ {\bf I \! P}(B \vert {\cal D}) $ in der je zwei Elemente im allgemeinen nur  $ \bf P - f.s.$ gleich sind.
\smallskip
\item{c)} F\"ur eine Zufallsgr\"o\3e $ Z: ({\bf \Omega},{\cal F}) \mapsto ({\bf \Omega}^{\prime},{\cal F}^{\prime}) $ (beliebiger Me\3raum) erkl\"art man:
$$ {\bf E}(X \vert Z ) := {\bf E}(X \vert {\sigma(Z)}), $$
wobei  $ {\sigma(Z)} \subseteq {\cal F} $ die kleinste	$ \sigma $-Algebra sein soll, bez\"uglich der $ Z $ me\3bar ist.
\bigskip
\smallskip \noindent {$\bf \underline {BE\;4\;Beispiele:}$} \smallskip \noindent
\item{a)} F\"ur $ X \in \el $ und $ {\cal D}_0 := \{ \emptyset, {\bf \Omega} \} $ mu\3 $ {\bf E}(X \vert {\cal D}_0) $
nach $ \imath) $ konstant sein und aus $ \imath\imath) $ folgt dann $ {\bf E}(X \vert {\cal D}_0) = {\bf E}(X). $
\smallskip
\item{b)} F\"ur $ X(\omega) = C = const. $ und beliebiges $ {\cal D} \subseteq {\cal F} $ ist $ C $ bez\"uglich $ {\cal D} $ me\3bar, d.h. $ C $ erf\"ullt  $ \imath) $  und  $ \imath\imath).$
Enth\"alt $ {\cal D} $ neben $ \emptyset $ weitere Nullmengen, kann man auf diesen Nullmengen z.B. $ C $ durch $ C + 1 $ ersetzen ohne $ \imath) $  und  $ \imath\imath) $ zu verletzen.
Daher gilt hier nur
$$ {\bf E}(X \vert {\cal D}) = C \qquad {\bf P - f.s.}. $$
\item{c)} Wir wollen f\"ur $ X \in \el,$ paarweise disjunkte $ \quad {A_k} \in {\cal F},\;\; k \in I \subseteq \na \quad $ mit  $ \quad {\bf P}(A_k) > 0,\; \forall \; k \in I, \quad  $ sowie
$ \quad {\bf P}(\bigcup_{k \in I} A_k ) = 1 $ und $ {\cal D}=$ die kleinste $\sigma-$Algebra die alle $ A_k,\ k \in I $ enth\"alt die bedingte Erwartung $ {\bf E}(X \vert {\cal D}) $ bestimmen.

\item{} Setzt man $ A_0 := {\bf \Omega} \setminus {(\bigcup_{k \in I} A_k )} $ und $ I_1 := \{ 0 \} \cup I, $ so mu\3  $ {\bf E}(X \vert {\cal D}) $ wieder nach $ \imath) $
auf allen $ A_k, \ k \in I_1, $ konstant sein, und aus $ \imath\imath) $ folgt:
$$ {{\bf E}(X \vert {\cal D})(\omega) \vert}_{A_k} {\bf P}(A_k) = \int_{A_k} X \; d{\bf P}  \qquad \forall \; k \in I_1.$$
\eject

\item{} Durch diese Beziehung ist $ {\bf E}(X \vert {\cal D}) $ auf allen  $ A_k $ mit $ k \in I $ eindeutig festgelegt. Auf der Nullmenge $ A_0 $ mu\3
$ {\bf E}(X \vert {\cal D}) $ der Me\3barkeit wegen zwar konstant sein, der Wert der Konstante ist aber beliebig w\"ahlbar.
F\"ur jede Wahl gilt jedoch:
$$ {\bf E}(X \vert {\cal D}) = \sum_{k \in I} {{{1\> \! \! \!{\rm I}}_{A_k}} \over {{\bf P}(A_k)}} {\int_{A_k} {X \;d{\bf P}}} = \sum_{k \in I} {\bf E}(X \vert {A_k}) {1\> \! \! \!{\rm I}}_{A_k} \qquad {\bf P - \; f. s.},$$
mit
$$ {\bf E}(X \vert {A_k}) = {1 \over {{\bf P}(A_k)}} {\int_{A_k} {X \;d{\bf P}}} \equiv \int_{\bf \Omega} X(\theta) \; {\bf P}(d\theta \vert {A_k}), $$
wobei in den Summen jeweils nur ein Summand von Null verschieden ist.

\item{d)} Ist $ Z: {\bf \Omega} \mapsto \re $ eine diskrete Zufallsgr\"o\3e mit Werten $z_i \neq z_j$ f\"ur $i \neq j$,
so sei $ B_j := \{\omega \vert Z(\omega) = z_j \}, \; j \in J \subseteq \na, $
dann wird $ \sigma(Z) $ durch die $ B_j $ erzeugt. F\"ur $ X \in \el $ soll $ {\bf E}(X \vert Z) $ berechnet werden.
Um auf das Beispiel c) zur\"uckgreifen zu k\"onnen, setzen wir:
$$ I:= \{ j \in J \vert {\bf P}(B_j) > 0 \}, \qquad I_0 := J \setminus I,$$
sowie
$$ A_k := B_k \; \; {\rm sofern} \; \; k \in I	\; \; {\rm und} \; \; A_0 := \bigcup_{j \in {I_0}} B_j $$
Auf den $ A_k , \; \; k \in I $ erh\"alt man $ {\bf E}(X \vert Z) $ wie oben. Sofern $ \vert I_0 \vert > 1 $ ist, besitzt $ A_0 $ in $ \sigma(Z) $
eine weitere Zerlegung, so da\3 man nun - ohne die Me\3barkeitsforderung $\imath)$ zu verletzen - auf jedem der $ B_j \; , \; j \in I_0 $ eine andere Konstante w\"ahlen kann.
\bigskip
\item{} Die Menge $ W := \{ z_k \in \re \; \vert \; {\bf P}(Z = z_k) \neq 0 \} \subset \re $ hat bez\"uglich des Bildma\3es $ {\bf P}{Z^{-1}} $ das Ma\3 1.
\smallskip \item{} Wir erkl\"aren eine $ {\cal B-B-} $me\3bare Funktion $ \Psi: \re \mapsto \re $ auf $ W $ durch
$$ \Psi(z_k) := {\bf E}(X \vert A_k ) = {\bf E}(X \vert {Z = z_k }) $$
und auf dem Komplement $\; \; \re \setminus W \; \; $ irgendwie (unter Beachtung der Me\3barkeit).
Hierdurch ist $ \Psi \; \;{{\bf P}Z^{-1}} - \; f. s. $ festgelegt und weil die $A_k$ disjunkt sind, gilt f\"ur $ \omega \in \bigcup_{k \in I} A_k $ :
$$ {\bf E}(X \vert Z)(\omega) = \sum_{k \in I} {\Psi(z_k){{1\> \! \! \!{\rm I}}_{A_k}}(\omega)} = (\Psi \circ Z )(\omega) $$
bzw. $ {\bf E}(X \vert Z) = \Psi \circ Z  \quad {\bf P - \; f. s.}.$
Eine entsprechende Beziehung wird sich sp\"ater f\"ur jede Zufallsgr\"o\3e $ Z $ als richtig erweisen (s BE 16).
\eject

\leftline{\mittel  \S 2  Der bedingte Erwartungswert als orthogonale Projektion } \hrule width 15,3 true cm height 2 pt
\bigskip
In diesem Paragraphen soll der bedingte Erwartungswert	ohne Bezug auf den Satz von {\it Radon-Nikodym} "geometrisch" eingef\"uhrt werden.
Bei diesem Zugang mu\3 allerdings zun\"achst vorausgesetzt werden, da\3 die betrachteten Zufallsgr\"o\3en nicht nur integrierbar, sondern quadratisch
integrierbar sind.
\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;5\;Bezeichnungen:}$} \smallskip \noindent
Es seien: \smallskip
	 $ \WR $ ein beliebiger W-Raum und $ {\cal D} \subseteq {\cal F} $ eine beliebige Teil-$\sigma$-Algebra, \smallskip
	 $ {\bf H} := {{\cal L}_2({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P})} $ die quadratisch integrierbaren Zufallsgr\"o\3en auf $ \WR $ und  \smallskip
	 $ {\bf K} := {{\cal L}_2({\bf\Omega},{\cal D},{\bf P})} $ die quadratisch integrierbaren Zufallsgr\"o\3en auf $ {({\bf\Omega},{\cal D},{\bf P})}. $
\smallskip In beiden F\"allen werden $ {\bf P-f.s.} $ gleiche Elemente identifiziert.
\smallskip \noindent $ {\bf H} $ ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt $ <X,Y> \; := {\bf E}(X \cdot Y) \quad \forall \; X,Y \in {\bf H}$,
sowie der Norm $ \Vert {X} \Vert := \sqrt {<X,X>}  $ und {\bf K} ist ein abgeschlossener Unterraum von $ {\bf H}$.
Schlie\3lich sei $ {\bf K}^{\bot} := \{ W \in {\bf H} \vert <W,Y> = 0 \; \forall \; Y \in {\bf K} \} $ das orthogonale Komplement von $ \bf K $.
\smallskip Mit den bekannten Eigenschaften des Skalarproduktes pr\"uft man leicht die G\"ultigkeit der Parallelogramm-Gleichung
$$ {\Vert X + Y \Vert}^2 + {\Vert X - Y \Vert}^2  = 2 \; {\Vert X \Vert}^2 + 2 \; {\Vert Y \Vert}^2 \qquad \forall \;X,Y \in {\bf H} $$
nach. \smallskip \noindent
F\"ur ein beliebiges und fortan fest gew\"ahltes $ X \in {\bf H} $ hei\3t
$$ d^2 := \inf_{Y \in {\bf K}}{\Vert X - Y \Vert}^2  $$
Abstandsquadrat des Elementes $ X $ vom Unterraum {\bf K}.
\smallskip \noindent {$\bf \underline {BE\;6\;Satz:}$} \smallskip \noindent
Es gibt genau ein Element $ V = V(X) \in {\bf K} $ mit
$${\Vert {X - V} \Vert}^2 = d^2 = \inf_{Y \in {\bf K}}{\Vert X - Y \Vert}^2  $$
F\"ur dieses Element gilt: $ W:= X - V \in {\bf K}^{\bot},$ d.h. $ X = V + W $
mit eindeutig bestimmten Elementen $ V = V(X) \in {\bf K} $ und $ W = W(X) \in {\bf K}^\bot . $  \smallskip \noindent
$ V $ hei\3t $ \underline{ orthogonale \; Projektion \; von \; X \; auf \; \; {\bf K}} .$

\smallskip
\leftline { $ \bf \underline {Beweis :} $ } \smallskip \noindent
\underbar{\it 1.Schritt}
\smallskip \noindent
\item{\underbar{Beh.:}} Es gibt mindestens ein $ V \in {\bf K} $ mit $ {\Vert {X - V} \Vert}^2 = \inf_{Y \in {\bf K}}{\Vert X - Y \Vert}^2 .$
\smallskip \noindent
\item{\underbar{Bew.:}} Aufgrund der Definition des Infimums gibt es eine Folge $ V_n \in {\bf K} $ derart, da\3  \smallskip \noindent
\item{} $ d_n^2 := {\Vert X - V_n \Vert}^2 $ f\"ur $ n \longrightarrow \infty $ gegen $ d^2 $ konvergiert.
\eject

Mit der Parallelogrammgleichung erh\"alt man:
$$ \underbrace{{\Vert (X - V_n)+ (X - V_m) \Vert}^2}_{=: a_n} + {\Vert (X - V_n) - (X - V_m) \Vert}^2  = 2 \; {\Vert X - V_n \Vert}^2 + 2 \; {\Vert X - V_m \Vert}^2  $$
\item{} Wegen $ {1 \over 2}(V_n + V_m) \in {\bf K} $ ist
$$ a_n = \Vert {2 (X - {{1 \over 2}(V_n + V_m))}}\Vert^2 = 4 \; \Vert {X - {{1 \over 2}(V_n + V_m)}}\Vert^2 \geq 4 \; d^2. $$
\item{} Mithin gilt:
$$ {\Vert V_n - V_m \Vert}^2 \leq 2 \; d_n^2 + 2 \; d_m^2 - 4 \; d^2  \longrightarrow 0 \quad {\rm falls} \quad n \longrightarrow \infty,$$
\item{} d.h. $ (V_n)_{n \in \na} $ ist eine Cauchy-Folge in $ \bf K $ und weil $ \bf K $  abgeschlossen ist, gibt es ein Grenzelement
$ V \in {\bf K} $. F\"ur dieses $ V $ gilt:
$$ d \leq \Vert X - V \Vert = \Vert X - V_n + V_n - V \Vert \leq d_n + \Vert V_n - V \Vert \longrightarrow d \quad {\rm falls} \quad n \longrightarrow \infty,$$
\item{} und somit
$${\Vert {X - V} \Vert}^2 = d^2 = \inf_{Y \in {\bf K}}{\Vert X - Y \Vert}^2 .$$
\smallskip \noindent
\underbar{\it 2.Schritt}
\smallskip \noindent
\item{\underbar{Beh.:}} Aus $ V \in {\bf K} $ und $ {\Vert {X - V} \Vert}^2 =  \inf_{Y \in {\bf K}}{\Vert X - Y \Vert}^2  $  folgt $ X - V \in {\bf K}^{\bot} .$
\smallskip \noindent
\item{\underbar{Bew.:}} Sei $ W:= X - V.$ Gibt es ein $ Y \in {\bf K} $ mit $ <W,Y> \; = \mu \ne 0, $ so kann o.B.d.A.$ \Vert Y \Vert = 1 $ angenommen werden.
F\"ur $ Z := V + \mu \; Y \in {\bf K} $ folgt dann:
$$\eqalign{{\Vert X - Z \Vert}^2 & = {\Vert X - V - \mu \; Y \Vert}^2 = {\Vert W - \mu \; Y \Vert}^2 \cr
				 & = {\Vert W \Vert}^2 - 2 \; \mu \; <W,Y> + {\mu}^2 = {\Vert W \Vert}^2 - {\mu}^2,\cr } $$
\item{} also $ {\Vert X - Z \Vert}^2 < {\Vert W \Vert}^2 = {\Vert X - V \Vert}^2 $ und dies widerspricht der Voraussetzung \"uber $ V .$
\smallskip \noindent
\underbar{\it 3.Schritt}
\smallskip \noindent
\item{\underbar{Beh.:}} Aus $ V_1,V_2 \in {\bf K} $ und $ {\Vert {X - V_1} \Vert}^2 = {\Vert {X - V_2} \Vert}^2 = \inf_{Y \in {\bf K}}{\Vert X - Y \Vert}^2  $	folgt $ V_1 = V_2 .$
\smallskip \noindent
\item{\underbar{Bew.:}} Wegen $ X - V_2 \in {\bf K}^{\bot} $ und ${V_2 - V_1} \in {\bf K} $ ist
$$ {\Vert X - V_1 \Vert}^2 = {\Vert X - V_2 + V_2 - V_1 \Vert}^2 = {\Vert X - V_2 \Vert}^2 + {\Vert V_2 - V_1 \Vert}^2,$$
\item{} dies ergibt $ {\Vert V_2 - V_1 \Vert}^2 = 0 $ bzw. $ V_1 = V_2 . $  \smallskip \noindent
Damit ist der Satz komplett bewiesen. \bigskip
\eject

\smallskip \noindent {$\bf \underline {BE\;7 \; Orthogonale \; Projektion \; und \; bedingter \; Erwartungswert:}$} \smallskip \noindent
Das in BE 6 charakterisierte Element $ V = V(X) \in {\bf K} $ ist $ \cal D $-me\3bar und es gilt insbesondere wegen $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D}} \in {\bf K}: $
$$ <X - V, {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D}} > \; = 0 \qquad \forall \; D \in {\cal D},$$
d.h. $ V $ erf\"ullt die beiden Eigenschaften:
\item{$\imath)$} $ \qquad V $ ist $ {\cal D} $-me\3bar \smallskip
\item{$\imath \imath)$}
$ \qquad \int_D V \; d{\bf P} = \int_D X \; d{\bf P}   \qquad \forall  \; D \in {\cal D}.$ \smallskip \noindent
und dies wiederum bedeutet im Sinne von BE 2 und BE 3: $ V = {\bf E}(X \vert {\cal D}) \qquad {\bf P - f.s.}. $
\bigskip  \noindent
F\"ur $ X \in {{\cal L}_2({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P})} \subseteq \el $  kann man einige Rechenregeln f\"ur bedingte Erwartungen sehr leicht aus den Eigenschaften der orthogonalen Projektion
herleiten. \smallskip \noindent
Wegen $ {\bf E}[({\bf E}(X \vert {\cal D}))^2] = {\Vert V \Vert}^2 \leq {\Vert X \Vert}^2  = {\bf E}[\; X^2 \;] $ gilt z.B. [hierbei BE 9 b) beachten !]: \smallskip \noindent
Aus $ X_n \longrightarrow X  \quad in \quad {{\cal L}_2({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P})} \quad $ folgt $ \quad {\bf E}(X_n \vert {\cal D}) \longrightarrow {\bf E}(X \vert {\cal D}) \quad in \quad {{\cal L}_2({\bf\Omega},{\cal D},{\bf P})}. $
\bigskip \noindent
Wir werden weitere Regeln im n\"achsten Paragraphen f\"ur $ X \in \el $ beweisen. Nichtsdestoweniger sollte man sich diese Aussagen m\"oglichst in der
{\it orthogonalen Projektions Sprechweise} veranschaulichen.
\bigskip
\smallskip \noindent {$\bf \underline {BE\;8 \; Erweiterung \; auf \; X \in \el :}$} \smallskip \noindent
Zur Abrundung dieses Abschnitt sei noch gezeigt, wie sich der Fall $ X \in \el $ unter Ausnutzung der Hilbertraumtechnik behandeln l\"a\3t. \smallskip \noindent
F\"ur $ X \in \el $ und beliebiges $ n \in \na $ wird $ X_n := X \cdot ({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-n,n]}} \circ X) $ erkl\"art. Dann ist
$ X_n \in {{\cal L}_2({\bf\Omega},{\cal F},{\bf P})}, \; \; \forall \; n \in \na $
und wegen $ \vert X_n \vert \leq \vert X \vert $ folgt mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz
$$ \int_{\bf \Omega} \; \vert { X_n - X } \vert \; d{\bf P}  \longrightarrow 0 \quad {\rm falls} \; n \longrightarrow \infty.$$
\smallskip \noindent
Bezeichnet $ V_n \in {\bf K} $ die orthogonale Projektion von $ X_n $, so gilt f\"ur beliebige $ n,m \in \na $ und die von $ n,m \in \na $ abh\"angigen Mengen
$ A := \{ \omega \vert V_n(\omega) \geq V_m(\omega) \} \in {\cal D}, \; \; B:= {\bf \Omega} \setminus A \in {\cal D}:$
$$\eqalign{\int_{\bf \Omega} \; \vert V_n - V_m \vert \; d{\bf P} & = \int_A \; (V_n - V_m ) \; d{\bf P} + \int_B \; (V_m - V_n ) \; d{\bf P} \cr
								  & = \int_A \; (X_n - X_m ) \; d{\bf P} + \int_B \; (X_m - X_n ) \; d{\bf P} \cr
								  & \leq \int_A \; \vert X_n - X_m \vert \; d{\bf P} + \int_B \; \vert X_n - X_m \vert \; d{\bf P}, \cr } $$
d.h.
$$ {\int_{\bf \Omega} \; \vert V_n - V_m \vert \; d{\bf P}} \leq {\int_{\bf \Omega} \; \vert X_n - X_m \vert \; d{\bf P}}. $$
\eject

\smallskip \noindent
Weil $ (X_n)_{n \in \na} $ eine $ {\cal L}_1 $-Cauchy-Folge ist, ist $ (V_n)_{n \in \na} $  ebenfalls eine $ {\cal L}_1 $-Cauchy-Folge.
Bezeichnet $ V $ das zugeh\"orige Grenzelement in $ {{\cal L}_1({\bf\Omega},{\cal D},{\bf P})},$  so gilt f\"ur alle $ D \in {\cal D}:$
$$ \eqalign{\vert \int_D \; V \; d{\bf P}  \; - \; \int_D \; X \; d{\bf P} \; \vert &= \vert \int_D \; V \; d{\bf P} \; - \; \int_D \; V_n \; d{\bf P}\; + \; \int_D \; X_n \; d{\bf P} \; - \; \int_D \; X \; d{\bf P} \vert \cr
										    &\leq \int_{\bf \Omega} \; \vert V_n - V \vert \; d{\bf P} \; + \; \int_{\bf \Omega} \; \vert X_n - X \vert \; d{\bf P} \longrightarrow 0, \cr }$$
f\"ur $ n \longrightarrow \infty $, d.h.
$$ \int_D \; V \; d{\bf P} = \int_D \; X \; d{\bf P} \qquad \forall \; D \in {\cal D} $$
und somit $ V = {\bf E}(X \vert {\cal D}) \qquad {\bf P - f.s.}.$
\bigskip \bigskip  \noindent
\leftline{\mittel  \S 3  Rechenregeln f\"ur bedingte Erwartungswerte} \hrule width 12,0 true cm height 2 pt
\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;9\;Satz:}$} \smallskip \noindent
Sind $ X,Y \in \el, \alpha, \beta \in \re $ und $ {\cal D} \subseteq {\cal F} $ eine Teil-$ \sigma $-Algebra, so gilt jeweils $ {\bf P - f.s.} $:
\item{a)} $ {\bf E}(1 \vert {\cal D}) = 1 $
\smallskip
\item{b)} $ {\bf E}(\alpha X + \beta Y \vert {\cal D}) = \alpha {\bf E}(X \vert {\cal D}) + \beta  {\bf E}(Y \vert {\cal D})  $
\smallskip
\item{c)} $ {\bf E}({\bf E}(X \vert {\cal D})) = {\bf E}(X) $
\smallskip
\item{d)} Aus $ X \geq 0 $ folgt $ {\bf E}(X \vert {\cal D}) \geq 0 $
\smallskip
\item{e)} $ \vert {\bf E}(X \vert {\cal D})) \vert \leq {\bf E}(\vert X \vert \; \vert {\cal D}) $
\smallskip
\item{f)} Sind $ X $ und $ {\cal D} $ unabh\"angig , so gilt $ {\bf E}(X \vert {\cal D}) = {\bf E}(X) $
\smallskip
\leftline { $ \bf \underline {Beweis :} $ } \smallskip \noindent
Die Aussagen a) bis c) folgen direkt aus den Bedingungen $ \imath) $ und $ \imath\imath) $ der Definition. \smallskip \noindent
Um d) einzusehen setze man $ M := \{\omega \; \vert \; {\bf E}( X \vert {\cal D})(\omega) < 0 \} \in {\cal D}. $ Dann gilt:
$$ 0 \leq \int_M \; X \; d{\bf P} = \int_M \; {\bf E}( X \vert {\cal D}) \; d{\bf P}, $$
und dies ist nur f\"ur $ {\bf P}(M) = 0 $ m\"oglich. \smallskip \noindent
Zum Beweis von e) schreibt man $ X = X^+ \; - \; X^- $ und erh\"alt mit b) und e) $ \bf P - f.s.:$
$$ \eqalign{\vert{\bf E}( X \vert {\cal D})\vert &= \vert{\bf E}( X^+ \; \vert {\cal D}) \; - \; {\bf E}( X^- \; \vert {\cal D})\vert \leq {\bf E}( X^+ \; \vert {\cal D}) \; + \; {\bf E}( X^- \; \vert {\cal D}) \cr
						 &= {\bf E}( X^+ \; + \;  X^- \; \vert {\cal D}) = {\bf E}(\vert X \vert \; \vert {\cal D}).\cr } $$
Weil die konstante Abbildung $ \omega \mapsto {\bf E}(X) $ f\"ur jedes ${\cal D}$ me\3bar bez\"uglich ${\cal D}$ ist, braucht f\"ur f) nur  $ \imath\imath)$ gezeigt zu werden. Wegen der Unabh\"angigkeit gilt aber
f\"ur jedes $ D \in {\cal D}:$
$$ \int_D \; X \; d{\bf P} = {\bf E}( X \cdot {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D}}) = {\bf E}(X) \cdot {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D}}) =  {\bf E}(X) \cdot {\bf P}(D) =  \int_D \; {\bf E}(X) \; d{\bf P}. $$
\eject

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;10\;Bemerkungen:}$} \smallskip \noindent
Um insbesondere die Konvergenzs\"atze f\"ur bedingte Erwartungen analog zu denen f\"ur Integrale formulieren zu k\"onnen,empfiehlt es sich
die Definition von $ {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) $ auf den Fall $ X $ ist $\cal F$-me\3bar und $ X \geq 0 $ auszudehnen (d.h. $ {\bf E}(X) $ existiert, aber $ X $ ist nicht notwendig aus $ \el $ ).
\smallskip \noindent
F\"ur derartiges $ X $ und beliebiges $ n \in \na $ sei $ X_n := X \cdot ({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{[0,n]}} \circ X).$ Dann ist $ X_n \in \el $ und es gilt: $ X_n \uparrow X .$    \smallskip \noindent
Wegen $ 0 \leq X_n \leq X_{n+1} $ folgt aus BE 9 b) und d): $ 0 \leq {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}) \leq {\bf E}(X_{n+1} \; \vert {\cal D}),$  also \smallskip \noindent
ist $ V_n = {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D})$ eine nicht negative, $\cal D$-me\3bare und monoton wachsende Folge, d.h. $ V = \lim_{n \to \infty} V_n $ existiert und ist $\cal D$-me\3bar.
Wendet man f\"ur $ D \in {\cal D} $ auf die monotonen nicht negativen Folgen $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_D}\cdot V_n $ und $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_D}\cdot X_n $ den Satz von der monotonen Konvergenz an,
so erh\"alt man f\"ur das Grenzelement $ V $ die beiden Eigenschaften:
\item{$\imath)$} $ \qquad V $ ist $ {\cal D} $-me\3bar \smallskip
\item{$\imath \imath)$}
$ \qquad \int_D V \; d{\bf P} = \int_D X \; d{\bf P}   \qquad \forall  \; D \in {\cal D}.$ \smallskip \noindent
Es bleibt noch die Eindeutigkeit zu zeigen, denn hier k\"onnen die Integrale in $\imath \imath)$ im Gegensatz zu BE 2 auch $ + \infty $ sein.      \smallskip \noindent
Erf\"ullen $ V $ und $ W $ sowohl $\imath)$ als auch $\imath \imath)$, so erkl\"art man f\"ur beliebiges $ n \in \na $:
$$ A_n := \{\omega \vert V(\omega) > W(\omega), 0 \leq W(\omega) \leq n \},\;{\rm und}\;  B_n := \{\omega \vert W(\omega) > V(\omega), 0 \leq V(\omega) \leq n \}.$$
Dann sind $ A_n, B_n \in \cal D $ und die Integrale \"uber $ A_n $ bzw. $ B_n $ endlich, deshalb gilt z.B.
$$ \int_{A_n} \; (V \; - \; W) \; d{\bf P} = 0, $$
also $ {\bf P}(A_n) = 0 $ und entsprechend $ {\bf P}(B_n) = 0.$ \smallskip \noindent
F\"ur $ n \longrightarrow \infty $ gilt:
$$ A_n \uparrow A := \{\omega \vert V(\omega) > W(\omega), 0 \leq W(\omega) < \infty \} \quad {\rm also} \quad {\bf P}(A) = 0 $$
und
$$ B_n \uparrow B := \{\omega \vert W(\omega) > V(\omega), 0 \leq V(\omega) < \infty \} \quad {\rm also} \quad {\bf P}(B) = 0.$$
Auf dem Komplement von $ A \cup B $ gilt $ V(\omega) = W(\omega)$ (endlich oder $ + \infty)$. \smallskip \noindent
Mithin ist ${\bf E}(X \; \vert {\cal D})$ auch in diesem Fall durch $\imath)$ und $\imath \imath) \quad {\bf P- f.s.}$ festgelegt. \smallskip \noindent
Die Rechenregeln des Satzes BE 9 bleiben bestehen, wenn man f\"ur $ X $ ($ Y $ entsprechend) voraussetzt:
$ X \in \el $ oder $ X $ ist $\cal F$-me\3bar und $ X \geq 0 $. 					      \smallskip \noindent
F\"ur a) bis d) folgt dies wie oben, e) ist f\"ur $ X \geq 0 $ bedeutungslos und bei f) m\"u\3te man zun\"achst wieder
$ X_n := X \cdot ({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{[0,n]}} \circ X)$ betrachten und dann den Satz von der monotonen Konvergenz auf die Integrale anwenden.
\eject

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;11\;Satz \; (Konvergenzaussagen):}$} \smallskip \noindent
Sind $ X_n \in \el $ und $ {\cal D} \subseteq {\cal F} $ eine Teil-$ \sigma $-Algebra von $ {\cal F} $, so gilt:								      \smallskip \noindent
\item{a)}   Satz von der monotonen Konvergenz f\"ur bedingte Erwartungen: \smallskip \noindent
\item{} Aus $ 0 \leq X_n \uparrow X \quad {\bf P- f.s.}$ folgt $ {\bf E}( X_n \; \vert {\cal D}) \uparrow {\bf E}( X \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.}.$		 \smallskip \noindent
\item{b)} Satz von der majorisierten Konvergenz f\"ur bedingte Erwartungen: \smallskip \noindent
\item{} Aus $ \lim_{n \to \infty} X_n = X \quad {\bf P- f.s.}$ und $ \vert X_n \vert \leq Y \in \el $ folgt:\smallskip \noindent
\item{} $$ \lim_{n \to \infty} {\bf E}( X_n \vert {\cal D}) = {\bf E}( X \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.} {\rm und \; in }\; \el.\qquad $$	  \smallskip \noindent
\item{c)} Lemma von {\it Fatou} f\"ur bedingte Erwartungen:
$${\rm Aus}\;\; X_n \geq 0 \;\;{\rm folgt:} \qquad\qquad {\bf E}(\liminf_{n \to \infty} \; X_n \; \vert {\cal D}) \leq \liminf_{n \to \infty} \; {\bf E}( X_n \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.}.\qquad \; \quad $$
\smallskip \leftline { $ \bf \underline{Beweis :} $ } \smallskip \noindent
\item{a)} Wegen $ 0 \leq X_n \leq X_{n+1} $ folgt aus BE 9 b) und d):
	  $ 0 \leq {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}) \leq {\bf E}(X_{n+1} \; \vert {\cal D}),$ \smallskip \noindent
\item{}   d.h. f\"ur $ V_n := {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}) $ existiert $ V = \lim_{n \to \infty} V_n $ und f\"ur $ D \in {\cal D} $ gilt:  \smallskip
\item{}   $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_D}\cdot V_n \uparrow {{1\> \! \! \!{\rm I}}_D}\cdot V $ sowie  $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_D}\cdot X_n \uparrow {{1\> \! \! \!{\rm I}}_D}\cdot X  \quad {\bf P - f.s.}.$
	  Damit folgt mit dem Satz von der monotonen Konvergenz f\"ur Integrale, $ V $ erf\"ullt: \smallskip \noindent
\item\item{$\imath)$} $ \qquad V $ ist $ {\cal D} $-me\3bar \smallskip
\item\item{$\imath \imath)$}
$ \qquad \int_D V \; d{\bf P} = \int_D X \; d{\bf P}   \qquad \forall  \; D \in {\cal D} $ \smallskip \noindent
\item{}   und somit $ V = {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P- f.s.}$.	    \smallskip \noindent
\item{b)} Setzt man $ Z_n := \sup_{m \geq n} \vert X_m \; - \; X \vert, $ so gilt:  \smallskip \noindent
\item{}   $ Z_1 \geq Z_2 \geq Z_3 \geq	\cdots \geq 0, \quad 0 \leq Z_n \leq 2 \; Y \quad $ und $ \quad \lim_{n \to \infty} Z_n = 0. $	\smallskip
	  Insbesondere existiert also $ W := \lim_{n \to \infty} {\bf E}(Z_n \; \vert {\cal D}) \geq 0 $, und mit dem Satz von der \smallskip majorisierten Konvergenz f\"ur
	  Integrale folgt $ \lim_{n \to \infty} {\bf E}(Z_n) = 0.$ \smallskip Da $ 0 \leq W \leq {\bf E}(Z_n \; \vert {\cal D}) $ ist, gilt
	  $ {\bf E}(W) \leq {\bf E}[{\bf E}(Z_n \; \vert {\cal D})] = {\bf E}(Z_n) \longrightarrow 0$ f\"ur $ n \to \infty $, d.h. \smallskip $ W = 0 \quad \bf P - f.s..$
	  Weiter folgt mit BE 9:
	  $$ \vert {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; - \; {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}) \vert \leq {\bf E}(\vert X \; - \; X_n \vert \;\; \vert \;{\cal D}) \leq {\bf E}(Z_n \; \vert {\cal D}).$$
\item{}   Hieraus erh\"alt man direkt $ \lim_{n \to \infty} {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}) = {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.} $ und nach \smallskip Anwendung von {\bf E} mit
	  $ {\bf E}[{\bf E}(Z_n \; \vert {\cal D})] = {\bf E}(Z_n) \rightarrow 0 $ die Konvergenz in $ \el $. \smallskip \noindent
\item{c)} Erkl\"art man $ Y_n := \inf_{m \geq n} X_m $, so gilt: $$ Y_n \uparrow \underline{X} := \liminf_{k \to \infty} X_k \equiv \sup_n \inf_{m \geq n} X_m .$$
	  Mit Teil a) folgt dann: $ {\bf E}(\underline{X}\;\;\vert {\cal D}) = \lim_{n \to \infty} {\bf E}(Y_n \; \vert {\cal D}).$ \smallskip
	  Ferner gilt wegen $ Y_n \leq X_n $ auch $ {\bf E}(Y_n \; \vert {\cal D}) \leq {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}),$ d.h.
	  $$ {\bf E}(\underline{X}\;\;\vert {\cal D}) = \lim_{n \to \infty} {\bf E}(Y_n \; \vert {\cal D}) = \liminf_{n \to \infty} {\bf E}(Y_n \; \vert {\cal D}) \leq \liminf_{n \to \infty} {\bf E}(X_n \; \vert {\cal D}). $$
Damit ist der Satz bewiesen.
\eject

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;12\;Satz:}$} \smallskip \noindent
Sind $ X \in \el , \; \; X \cdot Y \in \el $ und $ Y $ bez\"uglich einer Teil-$\sigma$-Algebra $ \cal D \subseteq F $  me\3bar, so gilt:
$$ {\bf E}(X \cdot Y \; \vert {\cal D}) = {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \cdot Y \quad {\bf P - f.s.}.$$
\smallskip \leftline { $ \bf \underline{Beweis :} $ } \smallskip \noindent
Weil der rechte Ausdruck $ \cal D $-me\3bar ist, gen\"ugt es die Bedingung $\imath \imath)$  zu \"uberpr\"ufen. \smallskip \noindent
$ \underline{1. Schritt:} $  \smallskip \noindent
F\"ur $ F \in {\cal D} $ und $ Y = {1\> \! \! \!{\rm I}}_F $ gilt $ \forall \; D \in {\cal D}: $
$$ \int_D \; X \cdot Y \; d{\bf P} = \int_{D \cap F} \; X \; d{\bf P} = \int_{D \cap F} \; {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; d{\bf P} = \int_D \; {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \cdot Y \; d{\bf P}, $$
also gilt die Behauptung f\"ur alle einfachen $ \cal D - $me\3baren Funktionen.  \smallskip \noindent
$ \underline{2. Schritt:} $  \smallskip \noindent
Zerlegt man das gegebene $ Y $ in $ Y = Y^+ \; - \; Y^- $ und w\"ahlt einfache $ \cal D - $me\3baren Funktionen $ Y_n^1 \; \uparrow Y^+ $ und $ Y_n^2 \; \uparrow Y^- $,
so gilt f\"ur $ Y_n := Y_n^1 \; - \; Y_n^2 : \quad \lim_{n \to \infty} \; Y_n = Y $ und
$$ \vert Y_n \cdot X \vert = \vert Y_n \vert \cdot \vert X \vert \leq (Y^+ \; + \; Y^-) \cdot \vert X \vert = \vert Y \cdot X \vert . $$
Aufgrund des Satzes von der majorisierten Konvergenz (BE 11, Teil b)) gilt daher:
$$ {\bf E}(X \cdot Y \; \vert {\cal D}) = \lim_{n \to \infty} {\bf E}(X \cdot Y_n \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.}.$$
Anderseits gilt nach BE 9 und dem $ 1. Schritt $:
$$ {\bf E}(X \cdot Y_n \; \vert {\cal D}) = {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \cdot Y_n^1 \; - \; {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \cdot Y_n^2 = {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \cdot Y_n. $$
Beides zusammen liefert die Aussage des Satzes.

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;13\;Satz:}$} \smallskip \noindent
F\"ur $ X \in \el $ und Teil-$\sigma$-Algebren $ \cal C \subseteq D \subseteq F $ gilt:
$$ {\bf E}[{\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; \vert \; {\cal C}] = {\bf E}(X \; \vert {\cal C}) = {\bf E}[{\bf E}(X \; \vert {\cal C}) \; \vert \; {\cal D}] \quad {\rm jeweils} \quad {\bf P - f.s.}.$$
\smallskip \leftline { $ \bf \underline{Beweis :} $ } \smallskip \noindent
Das rechte Gleicheitszeichen ist ein Sonderfall von BE 12, so da\3 nur das linke zu beweisen bleibt.
Weil der linke Ausdruck $ \cal C $-me\3bar ist, gen\"ugt es wieder die Bedingung $\imath \imath)$  zu \"uberpr\"ufen.
F\"ur $ C \in {\cal C} \subseteq {\cal D} $ gilt:
$$ \int_C \; {\bf E}[{\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; \vert \; {\cal C}] \; d{\bf P} = \int_C \; {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; d{\bf P} = \int_C \; X \; d{\bf P} , $$
wobei zweimal die Bedingung $\imath \imath)$ der Definition ausgenutzt wurde, und zwar beim ersten Gleicheitszeichen f\"ur $ {\bf E}[{\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; \vert \; {\cal C}] $ und beim zweiten f\"ur
$ {\bf E}(X \; \vert {\cal D}) $. L\"a\3t man den mittleren Ausdruck weg, so folgt:
$ {\bf E}[{\bf E}(X \; \vert {\cal D}) \; \vert \; {\cal C}] = {\bf E}(X \; \vert {\cal C}) \quad {\bf P - f.s.}.$
\eject

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;14\;Satz \; ({\it Jensen}sche \;\; Ungleichung):}$} \smallskip \noindent
Es seien $ I \subseteq \re $ ein Intervall und $ f: \; I \mapsto \re $ eine konvexe Funktion. \smallskip \noindent
Weiter gelte f\"ur $ X \in \el $ und eine Teil-$\sigma$-Algebra $ \cal D \subseteq F $:  \smallskip \noindent
$ X : \; {\bf \Omega} \mapsto I \;, \quad {\bf E}(X \; \vert {\cal D}): \; {\bf \Omega} \mapsto I \quad {\rm und} \quad X, \; f(X) \in \el.$ Dann gilt:
$$ \quad f({\bf E}(X \; \vert {\cal D})) \leq {\bf E}(f(X) \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.}.$$
Speziell f\"ur $ {\cal D}_0 = \{ \emptyset, {\bf \Omega} \} $ also:  $ \; f({\bf E}(X)) \leq {\bf E}(f(X)). $
\smallskip \leftline { $ \bf \underline{Beweis :} $ } \smallskip \noindent
Eine Funktion $ \varphi: \re \mapsto \re $ hei\3t affin, falls es Zahlen $ a,b, \in \re  $ so gibt, da\3 $ \varphi(x) = a x + b.$  \smallskip \noindent
Sei
$$ {\cal A}:= \{ \varphi \; \vert \; \varphi = {\rm affin \;\; und} \;\; \varphi(x) \leq f(x) \quad \forall \; x \in I \}  $$
F\"ur die konvexe Funktion $ f $ gibt es zu jedem $ x_0 \in I $ eine "St\"utzgerade" $ \varphi_0 \in {\cal A} $ mit $ \varphi_0(x_0) = f(x_0). $ \smallskip \noindent
Mithin kann man auch schreiben:
$$ f(x) = \sup_{\varphi \in {\cal A}} \varphi(x) \quad \forall \; x \in I. $$
F\"ur beliebiges $ {\varphi \in {\cal A}} $ ist $ \varphi(X) \leq f(X) $ und daher erh\"alt man unter Ausnutzung der Monotonie und der Linearit\"at des bedingten Erwartungswertes
$$ \varphi({\bf E}(X \; \vert {\cal D})) = {\bf E}(\varphi(X) \; \vert {\cal D}) \leq {\bf E}(f(X) \; \vert {\cal D}),$$
bzw.
$$ f({\bf E}(X \; \vert {\cal D})) = \sup_{\varphi \in {\cal A}} \varphi({\bf E}(X \; \vert {\cal D})) \leq {\bf E}(f(X) \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.}.$$
\underbar{Anmerkungen:}
\item{1.}Beispiele f\"ur konvexe Funktionen
\item\item{a)} $ I = \re, \quad f(x) = {\vert x \vert}^{\alpha}, \quad \alpha > 1 $
\item\item{b)} $ I = \re, \quad f(x) = e^x $
\item\item{c)} $ I = (0,\infty), \quad f(x) = {1 \over x} $    \bigskip \noindent
\item{2.}F\"ur konkave Funktionen gilt die umgekehrte Ungleichung. So ist z.B. f\"ur $ X \geq 0 : $
	 $$ \sqrt{{\bf E}(X \; \vert {\cal D})} \geq {\bf E}(\sqrt{X} \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.},$$
\item{}  oder - sofern die Erwartungswerte existieren:
	 $$ {\rm ln}({{\bf E}(X \; \vert {\cal D}))} \geq {\bf E}({\rm ln}{X} \; \vert {\cal D}) \quad {\bf P - f.s.}. $$
\eject

\leftline{\mittel  \S 4  Von Zufallsgr\"o\3en erzeugte Teil-$\sigma$-Algebren} \hrule width 11,8 true cm height 2 pt
\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;15\;Satz\;(Faktorisierungssatz)}$} \smallskip \noindent
Es seien $ \bf \Omega $ eine beliebige Menge, $ ({\bf \Omega}^{\prime}, {\cal F}^{\prime}) $ ein Me\3raum und
$ Y: \; {\bf \Omega} \mapsto \re $ bzw. $ Z: \; {\bf \Omega} \mapsto {\bf \Omega}^{\prime} $ Abbildungen.
Erkl\"art man $ {\cal D} := \sigma(Z) $, so sind folgende Aussagen \"aquivalent:   \smallskip \noindent
\item{a)} $ Y $ ist $ \cal D $-me\3bar \smallskip \noindent
\item{b)} Es existiert eine $ {\cal F}^{\prime} $-me\3bare Abbildung $ \Psi: \; {\bf \Omega}^{\prime} \mapsto \re $  derart, da\3 $ Y = \Psi \circ Z. $   \bigskip \noindent
\underbar{Erl\"auterung:} \smallskip \noindent
\settabs
\+Gegeben ist also das Bild:& $({\bf\Omega^\prime},{\cal F^\prime})$ &		   stochastisch 	      & $({\re},{\cal B}) $ & \cr
\+Gegeben ist also das Bild:&					     & \hfill ${\bf \Omega} \; $ \quad \hfill & 		    \cr
\bigskip
\+			    & \hfill $ Z \; $ \quad		     &					       & $ Y $ \hfill	     \cr
\+			    & \hfill $ \swarrow \; $ \quad	     &					       & $ \searrow $ \hfill \cr
\+			    & $({\bf\Omega^\prime},{\cal F^\prime})$ &					       & $({\re},{\cal B}) $ \cr

\bigskip \noindent
Durch Hinzunahme von $ {\cal D} = \sigma(Z) $ zu  $ \bf \Omega $  erh\"alt man den Me\3raum $ ({ \bf \Omega }, {\cal D}) $ und $ Z $ wird $ {\cal D} - {\cal F}^{\prime} - $me\3bar.
Da nun $ Y $ eine Abbildung von einen Me\3raum in einen Me\3raum ist, stellt sich die Frage nach der Me\3barkeit von $ Y $.
Der Satz gibt ein genau dann Kriterium daf\"ur an.
\smallskip \leftline { $ \bf \underline{Beweis :} $ } \smallskip \noindent
$ \underline{ b) \Longrightarrow a): } $ \smallskip \noindent
Dies folgt sofort aus der f\"ur beliebiges $ B \in {\cal B} $ g\"ultigen Beziehung:
$$ Y^{-1}(B) = {(\Psi \circ Z)}^{-1}(B) = Z^{-1}(\underbrace{{\Psi}^{-1}(B)}_{\in {\cal F}^{\prime}}) \in \sigma(Z) = {\cal D}. $$
$ \underline{ a) \Longrightarrow b): } $ \smallskip \noindent
$ \underline{1. Schritt:} $ Angenommen $ Y $ ist eine einfache Funktion, d.h.
$$ Y = \sum_{k=0}^n {a_k \cdot {1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_k}} \; , \quad a_k \in \re, \quad D_k \in {\cal D}.$$
Dann gibt es $ F_k^{\prime} \in {\cal F}^{\prime} $ derart, da\3 $ D_k = Z^{-1}(F_k^{\prime}). $ Setzt man:
$$ \Psi := \sum_{k=0}^n {a_k \cdot {1\> \! \! \!{\rm I}}_{F_k^{\prime}}} \;, $$
so ist	$ \Psi: \; {\bf \Omega}^{\prime} \mapsto \re $ bez\"uglich ${\cal F}^{\prime} - $ me\3bar und
$$ \Psi(Z(\omega)) = \sum_{k=0}^n {a_k \cdot {1\> \! \! \!{\rm I}}_{F_k^{\prime}}(Z(\omega))} = \sum_{k=0}^n {a_k \cdot {1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_k}}(\omega) = Y(\omega) \;, $$
d.h. $ Y = \Psi \circ Z $, womit die Behauptung f\"ur einfache Funktionen gezeigt ist.  \smallskip \noindent
\eject

\smallskip \noindent
$ \underline{2. Schritt:} $ Es gelte $ 0 \leq Y(\omega) < \infty $ f\"ur alle $ \omega \in {\bf \Omega}. $
Wir w\"ahlen eine Folge einfacher Funktionen $ \; Y_n \uparrow Y \; $ und bestimmen ${\Psi}_n $ gem\"a\3 des {\it 1. Schrittes} so, da\3 $ Y_n = {\Psi}_n \circ Z $ f\"ur $ n \in \na $ gilt. Ferner sei:
$$ W := \{ {\omega}^{\prime} \in {\bf \Omega}^{\prime} \; \vert \; \exists \; \omega \in {\bf \Omega} \; {\rm mit} \; Z(\omega) = {\omega}^{\prime} \; \}. $$
Wegen $ {\Psi}_n(Z(\omega)) = Y_n(\omega) \uparrow Y(\omega), \; \forall \; \omega \in {\bf \Omega}, $ existiert f\"ur $ {\omega}^{\prime} \in W : \; \lim_{n \to \infty} {\Psi}_n({\omega}^{\prime}) $ und ist endlich, d.h.
$$ W \subseteq V := \{ {\omega}^{\prime} \in {\bf \Omega}^{\prime} \; \vert \; \liminf_{n \to \infty} {\Psi}_n({\omega}^{\prime}) = \limsup_{n \to \infty} {\Psi}_n({\omega}^{\prime}) < \infty \; \}.$$
Weil die $ {\Psi}_n : \; {\bf \Omega}^{\prime} \mapsto \re $ bez\"uglich ${\cal F}^{\prime} - $ me\3bar sind, ist $ V \in {\cal F}^{\prime}.$  \smallskip \noindent
Mithin existiert
$$ \Psi(\omega) := \lim_{n \to \infty} ({1\> \! \! \!{\rm I}}_V ({\omega}^{\prime}) \cdot {\Psi}_n ({\omega}^{\prime})) $$
f\"ur alle $ {\omega}^{\prime} \in {\bf \Omega}^{\prime} $ als endlicher Limes, und $ \Psi: \; {\bf \Omega}^{\prime} \mapsto [0, \infty) $ ist bez\"uglich ${\cal F}^{\prime} - $ me\3bar.   \smallskip \noindent
F\"ur das so konstruierte $ \Psi $ gilt:
$$ \Psi(Z(\omega)) = \lim_{n \to \infty} [{1\> \! \! \!{\rm I}}_V(\underbrace{Z(\omega)}_{\in W}) \cdot {\Psi}_n(Z(\omega))] = \lim_{n \to \infty} {\Psi}_n(Z(\omega)) = \lim_{n \to \infty} Y_n (\omega) = Y(\omega), $$
d.h. $ Y = \Psi \circ Z $ . \smallskip \noindent
$ \underline{3. Schritt:} $ Zerlegt man $ Y: \; {\bf \Omega} \mapsto \re $ in $ Y = Y^+ \; - \; Y^- $ so sind $ Y^+ $ und $ Y^- $ nicht negativ und endlich und nach dem {\it 2.Schritt} gibt es $ {\cal F}^{\prime} - $me\3bare
$ \;\; {\Psi}^+ \;,\; {\Psi}^- : \; {\bf \Omega}^{\prime} \mapsto [0, \infty) $ derart, da\3
$ Y^+ = {\Psi}^+ \circ Z $ und $ Y^- = {\Psi}^- \circ Z $. \smallskip \noindent
Gem\"a\3 der im {\it 2. Schritt} durchgef\"uhrten \"Uberlegungen sind $ {\Psi}^+ $ und $ {\Psi}^- $ beide nicht negativ und endlich, d.h.
$ \Psi := {\Psi}^+ \; - \; {\Psi}^- $ ist als Abbildung $ \Psi: {\bf \Omega} \mapsto \re $ erkl\"art, $ {\cal F}^{\prime} - $me\3bar und $ \Psi \circ Z = Y. $
\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;16\;Anwendung\;des\;Faktorisierungssatzes:}$} \smallskip \noindent
Es seien $ X \in \el \;,\; ({\bf \Omega}^{\prime}, {\cal F}^{\prime}) $ ein beliebiger Me\3raum  und $ Z: \; {\bf \Omega} \mapsto {\bf \Omega}^{\prime} $ eine	\smallskip \noindent
$ {\bf \Omega}^{\prime} - $ wertige Zufallsgr\"o\3e, d.h. $ Z $ ist $ {\cal F} - {\cal F}^{\prime} - $me\3bar. \smallskip \noindent
Mit dem Bildma\3 $ {\bf P}Z^{-1} $ wird $ ({\bf\Omega}^{\prime},{\cal F}^{\prime},{\bf P}Z^{-1}) $ zum Wahrscheinlichkeitsraum. \smallskip \noindent
Definiert man $ Y:= {\bf E}(X \; \vert Z) \equiv {\bf E}(X \; \vert {\sigma(Z)}), $  so ist $ Y = {\bf E}(X \; \vert Z) $ bez\"uglich $ {\sigma(Z)} \subseteq {\cal F} $  me\3bar und nach BE 15 existiert
eine $ {\cal F}^{\prime} $ - me\3bare Abbildung $ \Psi: \; {\bf \Omega}^{\prime} \mapsto \re $	derart, da\3:
$$ {\bf E}(X \; \vert Z) = \Psi \circ Z $$
gilt (vergleiche BE 4, Teil d)). \smallskip \noindent
F\"ur beliebiges $ F^{\prime} \in {\cal F}^{\prime} $ gilt nach Definition der bedingten Erwartung und dem Transformationssatz f\"ur Integrale:
$$ \int_{Z^{-1}(F^{\prime})} \; X \; d{\bf P} = \int_{Z^{-1}(F^{\prime})} \; {\bf E}(X \; \vert Z) \; d{\bf P} = \int_{Z^{-1}(F^{\prime})} \; \Psi \circ Z \; d{\bf P} = \int_{F^{\prime}} \; \Psi \; d({\bf P}Z^{-1}). $$
Hieraus folgt insbesondere mit der \"ublichen Schlu\3weise, da\3 $ \Psi $ auf $ {\bf \Omega}^{\prime} $ bez\"uglich des Bildma\3es $ {\bf P}Z^{-1} \bf - f.s. $ eindeutig bestimmt ist,
d.h. die Gleichung kann auch zur Definition von $\Psi$ benutzt werden. \bigskip \noindent
Schreibweisen wie $ {\bf E}(X \; \vert {Z = z}) $ oder $ {\bf E}(X \; \vert Z)\vert_{Z = z} $ sind jeweils als $ \Psi(z) $ zu interpretieren.  \smallskip \noindent
\eject

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;17\;Rechenbeispiel:}$} \smallskip \noindent
$ Y $ und $ Z $ seien auf $ \WR $ erkl\"arte unabh\"angige, reellwertige Zufallsgr\"o\3en und $ Y $ normalverteilt nach $ {\bf N}(0, \sigma^2).$  \smallskip \noindent
Da $ X := e^{Y \cdot Z} \geq 0 $ existiert $ {\bf E}(X).$ Weil die Verteilung von $ Y $ gegeben ist, h\"angt es von $ Z $ ab, ob  $ {\bf E}(X) < \infty $ ist (f\"ur $ Z = 0 $ gilt dies z.B. offensichtlich ). \smallskip \noindent
Wir wollen f\"ur beliebiges $ Z $ den bedingten Erwartungswert $ {\bf E}(X \; \vert Z ) $ berechnen und ein Kriterium f\"ur die Endlichkeit von $ {\bf E}(X) $ angeben. \smallskip \noindent
Hierzu verwenden wir eine zweifache Abschneidetechnik. F\"ur $ N \in \na $ und $ n \in \na $ seien:
$$ X^N := ({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) \cdot X  \quad {\rm und} \quad  X_n^N := ({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) \cdot {\sum_{k=0}^n {{Z^k Y^k} \over { k !}}} $$
Dann gilt: $ 0 \leq X^N \uparrow X $ f\"ur $ N \to \infty \quad $ und $ \quad \lim_{n \to \infty} X_n^N = X^N $, sowie
$$ \vert X_n^N \vert \leq \sum_{k=0}^n {N^k \over {k !}} {\vert Y \vert}^k \leq e^{N \vert Y \vert}.$$
Ferner ist
$$ {\bf E}(e^{N \vert Y \vert}) = { 2 \over {\sigma \sqrt{2 \pi}}} \int_0^{\infty} e^{N t} e^{-{{t^2} \over {2 {\sigma}^2}}} dt
				= {e^{{N^2 {\sigma}^2} \over 2}} { 2 \over {\sigma \sqrt{2 \pi}}} \int_0^{\infty} e^{-{{1 \over {2 {\sigma}^2}}}{(t - N {\sigma}^2)}^2} \; dt
				= e^{{N^2 {\sigma}^2} \over 2} < \infty . $$
Mithin gilt nach den Konvergenzs\"atzen aus BE 11 jeweils  $ {\bf P - f.s.}: $
$$ \lim_{n \to \infty} {\bf E}(X_n^N \; \vert Z ) = {\bf E}(X^N \; \vert Z ) \quad {\rm und} \quad
   \lim_{N \to \infty} {\bf E}(X^N \; \vert Z ) = {\bf E}(X \; \vert Z ) .$$
Auf, la\3t uns	$ {\bf E}(X_n^N \; \vert Z ) $ berechnen !  \smallskip \noindent
Mit BE 9 und BE 12 erh\"alt man zun\"achst:
$$ {\bf E}(X_n^N \; \vert Z ) = ({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) \cdot {\sum_{k=0}^n {{Z^k} \over {k!}} {\bf E}(Y^k \; \vert Z )} =
				({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) \cdot {\sum_{k=0}^n {{Z^k} \over {k!}} {\bf E}(Y^k)}. $$
Wegen $ {\bf E}(Y^{2k}) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3) \cdot (2k-1) {\sigma}^{2k} $ und $ {\bf E}(Y^{2k-1}) = 0,$ sowie
$$ {{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3) \cdot (2k-1)} \over {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (2k-3) \cdot (2k-2) \cdot (2k-1) \cdot (2k)}} = {1 \over {2^k}} \cdot {1 \over {k!}} $$
erhalten wir
$$ {\bf E}(X_{2n+1}^N \; \vert Z ) = {\bf E}(X_{2n}^N \; \vert Z ) = ({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) \cdot {\sum_{k=0}^{2n} {{Z^{2k} \cdot {\sigma}^{2k}} \over {{2^k} \cdot {k!}}}}. $$
\eject

\smallskip \noindent
Unter Verwendung der bereitgestellten Konvergenzaussagen ergibt sich jeweils $ {\bf P - f.s.} : $
$$ {\bf E}(X^N \; \vert Z ) = \lim_{n \to \infty} {\bf E}(X_n^N \; \vert Z ) = ({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) \cdot {\sum_{k=0}^{\infty}{{Z^{2k} \cdot {\sigma}^{2k}} \over {{2^k} \cdot {k!}}}}
			    = ({1\> \! \! \!{\rm I}}_{[-N,N]} \circ Z) exp({{\sigma}^2 \over 2} Z^2) $$
und
$$ {\bf E}(X \; \vert Z ) = \lim_{N \to \infty} {\bf E}(X^N \; \vert Z ) = exp({{\sigma}^2 \over 2} Z^2).$$
Hieraus erkennt man, da\3 eine Version der $ {\bf P}Z^{-1} {\bf - f.s.} $ eindeutig bestimmten Funktion $ \Psi: \re \mapsto \re $ aus BE 16 durch $ \Psi(z) = exp({{\sigma}^2 \over 2} z^2) $ gegeben ist.   \smallskip \noindent
Weiter folgt mit BE 9c):
$$ {\bf E}(X) = {\bf E}[{\bf E}(X \; \vert Z)] = {\bf E}[exp({{\sigma}^2 \over 2} Z^2)] $$
und damit ein Kriterium f\"ur die Endlichkeit von $ {\bf E}(X).$  \smallskip \noindent
Offenbar folgt aus $ {\bf E}[exp({{\sigma}^2 \over 2} Z^2)] < \infty $ notwendig, da\3 alle Momente von $ Z $ endlich sein m\"u\3en. Die letzte Bedingung ist allein jedoch nicht hinreichend, wie die folgenden Beispiele
f\"ur Verteilungen von $ Z $ belegen.
\item{a)} Binomialverteilung:
	  $$ {\bf P}(Z = k) = {n \choose k} p^k \; {(1-p)}^{n-k}, \quad 0 \leq p \leq 1, \quad k = 0,1,2,\ldots,n $$
\item{b)} Poissonverteilung:
	  $$ {\bf P}(Z = k) = e^{-\lambda} \cdot { {\lambda}^k \over {k!} } \quad \lambda > 0, \quad k = 0,1,2,\ldots $$
\item{c)} Normalverteilung, d.h. $ Z $ ist nach $ {\bf N}(0, \rho^2) $ verteilt. \smallskip \noindent
In allen drei F\"allen existieren s\"amtliche Momente und $ {\bf E}[exp({{\sigma}^2 \over 2} Z^2)] $ ist:
\item{a)}
	  $$ = \sum_{k=0}^n {e^{{{\sigma}^2 \over 2} k^2} {n \choose k} p^k \; {(1-p)}^{n-k}} < \infty \quad \forall \; p: \quad {\rm mit} \quad 0 \leq p \leq 1. \; \; \; \; $$
\item{b)}
	  $$ = e^{- \lambda} \sum_{k=0}^{\infty}{e^{{{\sigma}^2 \over 2} k^2} \cdot {{\lambda}^k \over {k!}}} = \infty \quad \forall \; \lambda > 0. \; \; \; \; \; \; \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  $$
\item{c)}
	  $$\eqalign{& = {1 \over {\rho \sqrt{2 \pi}}} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \; e^{{{\sigma}^2 \over 2} z^2} \; e^{-{{z^2} \over {2 {\rho}^2}}} \; dz
		       = {1 \over {\rho \sqrt{2 \pi}}} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \; e^{-{{{z^2} \over {2 {\rho}^2}}}(1-{\rho}^2 {\sigma}^2)} \; dz \cr
		     & = { \cases{{1 \over {\sqrt{1 - {\rho}^2 {\sigma}^2}}} & falls $ {\rho}^2 {\sigma}^2 < 1 $ \cr
				  \infty & falls $ {\rho}^2 {\sigma}^2 \geq 1.$ \cr }} \cr} $$

\eject
\leftline{\mittel  \S 5  Weitere Rechenregeln f\"ur bedingte Erwartungen } \hrule width 13 true cm height 2 pt
\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;18\;Satz:}$} \smallskip \noindent
Es seien $ X \in  \el $ und $ {\cal D}_1,{\cal D}_2 \subseteq {\cal F} $ beliebige Teil-$\sigma$-Algebren mit der Eigenschaft,
da\3 $ {\cal D}_2 $ sowohl von $ {\cal D}_1 $ als auch von $ X $ unabh\"angig ist. Dann gilt:
$$ {\bf E}(X \vert \sigma({\cal D}_1 \cup {\cal D}_2)) = {\bf E}(X \vert {\cal D}_1)  \qquad {\bf P - \; f. s.},$$
\smallskip
\leftline { $ \bf \underline {Beweis :} $ } \smallskip \noindent
Es sei $ X_0 $ eine Version von $ {\bf E}(X \vert {\cal D}_1) $, d.h. es gilt:
$$  \int_{D_1} X_0 \; d{\bf P} =  \int_{D_1} X \; d{\bf P}  \quad \forall \; D_1 \in {\cal D}_1.$$ \smallskip \noindent
Da $ X_0 $ bez\"uglich $ {\cal D}_1 $ und daher auch bez\"uglich $ \sigma({\cal D}_1 \cup {\cal D}_2) $ me\3bar ist, bleibt zu zeigen
$$  \int_{D} X_0 \; d{\bf P} =	\int_{D} X \; d{\bf P}	\quad \forall \; D \in \sigma({\cal D}_1 \cup {\cal D}_2) \eqno (\diamondsuit) $$ \smallskip \noindent
Die Menge $ {\cal D} $ der $ D $, f\"ur die $ (\diamondsuit) $ gilt, ist offenbar ein Dynkinsystem, das $ {\cal D}_1 $ umfa\3t.
Weiter ist
$$ {\cal D}_1 \subset {\cal E} := \{  D_1 \cap	D_2 \vert  D_1 \in {\cal D}_1, D_2 \in {\cal D}_2 \} $$
und $ {\cal E} $ ein $ \cap $-stabiler Erzeuger von $ \sigma({\cal D}_1 \cup {\cal D}_2) $. Mithin gen\"ugt es $ (\diamondsuit) $ f\"ur alle $ D_1 \cap D_2 \in {\cal E} $ zu zeigen.\smallskip \noindent
Weil $ {\cal D}_2 $ von $ {\cal D}_1 $ und damit auch von $ X_0 $ unabh\"angig ist, gilt
$$  \int_{D_1 \cap D_2} X_0 \; d{\bf P} = {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_2}} X_0) = {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_2}}){\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} X_0), $$
Ferner gilt nach Definition von $ X_0 $: ${\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} X_0) = {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} X). $
\smallskip \noindent
Da voraussetzungsgem\"a\3 $ {\cal D}_2 $ sowohl von $ X $ als auch von $ {\cal D}_1 $ unabh\"angig ist, sind
auch $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_2}} $ und $ {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} X $ unabh\"angig, d.h.
$$  \int_{D_1 \cap D_2} X_0 \; d{\bf P} =  {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_2}}){\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} X) = {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_2}} {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{D_1}} X) = \int_{D_1 \cap D_2} X \; d{\bf P}, $$
und dies war zu zeigen.
\vfill
\eject

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;19\;Satz:}$} \smallskip \noindent
Sind $ \WR $ ein W-Raum, $ {\cal D} \subseteq {\cal F} $ eine Teil-$\sigma$-Algebren
und $ X,Y $ reelle Zufallsgr\"o\3en mit
\bigskip
\itemitem{$\imath)$} $ X $ ist unabh\"angig von $  {\cal D} $,
\bigskip
\itemitem{$\imath\imath)$} $ Y $ ist $ {\cal D}-$ me\3bar,
\bigskip \noindent
so gilt f\"ur alle Borelmengen $ B \in {\cal B}^2 $:
$$ {\bf P}((X,Y) \in B \vert {\cal D}) = {\bf P}((X,Y) \in B \vert Y)  \qquad {\bf P - \; f. s.} $$
\bigskip
\leftline { $ \bf \underline {Beweis :} $ } \smallskip \noindent
Da $ {\bf P}((X,Y) \in B \vert Y ) $ nach $ \imath\imath)$ bez\"uglich $ {\cal D} $ me\3bar ist, gen\"ugt es wieder
$$ \int_D{\bf P}((X,Y) \in B \vert Y) \; d{\bf P} = {\bf P}(\{(X,Y) \in B \} \cap D)  \quad \forall \; D \in {\cal D} \eqno (\heartsuit)$$
zu zeigen. \smallskip \noindent
F\"ur festes $ D \in {\cal D} $ sei $ {\cal C}:= \{ B \in {\cal B}^2 \vert $ f\"ur $ B $ ist $ (\heartsuit) $ erf\"ullt $ \}, $
wobei wie oben $ {\cal B}^2 $ die Borelmengen des $ {\re}^2 $ sind. Offenbar ist $ {\re}^2 \in {\cal C} $ und aus
$ B \in {\cal C} $ folgt $ B^C \in {\cal C} $.\smallskip \noindent
Sind $ B_i \in {\cal C} $ paarweise disjunkt und $ B = \bigcap_{i=1}^{\infty} B_i $, so gilt:
$$ {\bf P}((X,Y) \in B \vert Y )  = {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_B}(X,Y)\vert Y) = {\bf E}(\sum_{i=1}^{\infty}{{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_i}}(X,Y) \vert Y) = \sum_{i=1}^{\infty}{\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_i}}(X,Y) \vert Y), $$
wobei ${\bf BE\;11}$ auf die monotone Folge $ X_n := \sum_{i=1}^n {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_i}}(X,Y) $ angewandt wurde. Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz f\"ur Integrale erh\"alt man mit $ Z:= (X,Y) $ weiter
$$ \int_D{\bf P}(Z \in B \vert Y) \; d{\bf P} = \sum_{i=1}^{\infty} \int_D{\bf P}(Z \in B_i \vert Y)  d{\bf P} = \sum_{i=1}^{\infty}{\bf P}(\{Z \in B_i \} \cap D) = {\bf P}(\{Z \in B \} \cap D), $$
d.h. $ {\cal C} $ ist ein Dynkinsystem. \smallskip \noindent
Als n\"achstes zeigen wir, alle $ B = B_1 \times B_2 $ mit $ B_i \in {\cal B}^1 $ geh\"oren zu ${\cal C}$. F\"ur solche $ B $ gilt n\"amlich:
$$ \eqalign{{\bf P}((X,Y) \in B \vert Y ) & = {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_1}}(X) {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_2}}(Y)    \vert Y) \cr
					  & = {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_2}}(Y) \; {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_1}}(X) \vert Y), \quad wegen \quad {\bf BE12} \cr
					  & = {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_2}}(Y) \; {\bf E}({{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_1}}(X)), \quad wegen \quad {\bf BE9} \quad Teil \; f \cr
					  & = {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_2}}(Y) \; {\bf P}(X \in B_1) \cr}$$

\eject
\smallskip \noindent
Mithin gilt f\"ur diese $ B = B_1 \times B_2 $:
$$ \int_D{\bf P}((X,Y) \in B \vert Y) \; d{\bf P} = {\bf P}(X \in B_1) \; \int_D {{1\> \! \! \!{\rm I}}_{B_2}}(Y) \; d{\bf P} = {\bf P}(X \in B_1) \; {\bf P}(\{Y \in B_2 \} \cap D). $$
Weil $ X $ und $ \cal D $ unabh\"angig sind, ist dies wiederum
$$ = {\bf P} \{ X \in B_1 \} \cap \{Y \in B_2 \} \cap D ) = {\bf P} \{ (X,Y) \in B \} \cap D ). $$
Also enh\"alt $ \cal C $ einen $ \cap $-stabilen Erzeuger von $ {\cal B}^2 $ und daher gilt $ {\cal C} = \sigma({\cal C}) = {\cal B}^2 $.
\smallskip \noindent
Weil $ D \in {\cal D} $ beliebig gew\"ahlt war, ist $ (\heartsuit) $ f\"ur alle $ D \in {\cal D} $ und alle $ B \in {\cal B}^2 $ richtig.

\bigskip \noindent {$\bf \underline {BE\;20\;Bemerkung:}$} \smallskip \noindent
Die Formulierung von ${\bf BE\;19}$ ist auf den Beweis der Aussage
\smallskip \noindent
{\it Ein stochastischer Proze\3 $ \{Z_t,t \in [0, \infty) \}$ mit unabh\"angigen Zuw\"achsen und  \smallskip \noindent $ Z_0 = 0 \;{\bf P - f. s.}$ ist ein Markoffproze\3.}
\smallskip \noindent
zugeschnitten.
\smallskip \noindent
W\"ahlt man $ 0 \leq s < t < \infty $ sowie $ A \in {\cal B}^1 $ beliebig und erkl\"art:
$$ \eqalign{{\cal D} & := {\cal F}_s := \sigma(Z_r, r \leq s ), \cr
		   B & := \{(x,y) \in {\re}^2 \vert  x + y \in A \}, \cr
		   X & := Z_t - Z_s , \cr
		   Y & := Z_s, \cr}$$
so ist $ \{\omega \vert (X,Y) \in B \} = \{ \omega \vert Z_t \in A \} $ und f\"ur
${\bf BE\;19}$ sind alle Voraussetzungen erf\"ullt, d.h.
$$ {\bf P}(Z_t \in A \vert {\cal F}_s) = {\bf P}(Z_t \in A \vert Z_s)  \qquad {\bf P - \; f. s.} $$
\vfill

\end
